Zadnja dva meseca trepetamo pred drobnim virusom, ki ima le 22 genov, terorizira pa ves svet. Dnevno časopisje in televizija nam neprestano prinašata napovedi, kako bi se utegnil širiti, kaj lahko pričakujemo, kdaj bodo učenci spet sedli v šolske klopi, ali bo mogoče opravljati maturo v pomladanskem roku … Pri tem si pomagajo z matematičnim modelom, ki ima za podlago preprosto eksponentno funkcijo. Ker učenci o funkciji v osnovni šoli pred 9. razredom ne slišijo ničesar, bomo za tiste mlajše ta pojem skušali preprosto razložiti.

Funkcija

Zamislite si razred 6A v podružnični šoli, ki ima zelo malo učencev. Ravno so pisali test iz matematike in učiteljica jim je že prinesla popravljene naloge ter povedala ocene. Mi jih bomo predstavili malo drugače kot običajno: s puščičnim diagramom.

Učiteljica je vsakemu učencu oz. učenki zapisala prisluženo oceno; po matematično bi rekli, da je vsakemu učencu iz razreda priredila neko naravno število od 1 do 5. Še bolj strokovno pa bi rekli, da je množico 6A preslikala v množico {1, 2, 3, 4, 5}; vsakemu elementu množice 6A je priredila natanko en element iz množice prvih petih naravnih števil.

Na podoben način bi lahko vsakemu od teh učencev priredili njegovo enotno matično številko ali višino ali obseg glave ali številko čevlja.

Funkcija  undefined je torej predpis (pravilo), ki vsakemu elementu iz neprazne množice A priredi natanko en element v neprazni množici B. Elementi prve množice so neodvisne spremenljivke, elementi druge množice pa so odvisne spremenljivke ali funkcijske slike elementov prve množice.

Učenci višjih razredov že poznajo premo sorazmerje. Če se pri dvakratnem (trikratnem, štirikratnem …) povečanju ene količine tudi druga količina poveča dvakrat (trikrat, štirikrat …), sta količini premo sorazmerni. To pomeni, da je njun kvocient ves čas konstanten: undefined.

Če je y funkcijska slika neodvisne spremenljivke x, lahko to sorazmerje zapišemo kot undefined ali pa undefined. Najbrž ste že sami ugotovili, da je to poseben primer linearne funkcije, katere graf je premica, ki poteka skozi izhodišče.

Eksponentna funkcija

Nas pa v času pandemije koronavirusa bolj zanima eksponentna funkcija. Za uvod v njeno definicijo bomo spet posegli po primeru iz vsakdanjega življenja. Denimo, da imamo v laboratoriju celico, ki se v določenem času razdeli na dva dela (to je zelo podobno začetku našega življenja). Obe polovici se v danem času spet razdelita vsaka na dvoje, potem se razdeli spet vsaka od teh … Dogajanje zapišimo v preglednico.

Čas t (v enotah)01234567
Število celic n1248163264128

Pare števil (t,n) si mislimo kot koordinate točk in jih narišemo v pravokotni koordinatni sistem. Hitro opazimo, da število celic narašča zelo hitro, saj smo lahko predstavili le prvih pet parov števil.

V našem primeru so bile neodvisne spremenljivke naravna števila. V primeru radioaktivne reakcije ali rasti gozda, kjer se to dogaja v realnem času in neodvisne spremenljivke sestavljajo množico realnih števil, pa ne dobimo točkovnega grafa, ampak krivuljo.

To je graf eksponentne funkcije in po tem pravilu se razširja virus covid-19. Saj ste gotovo slišali, da se virus širi eksponentno. Če bi vsak okuženi okužil še dva nova, bi bilo širjenje natanko takšno, kot kaže graf na desni strani. Vendar je stvar mnogo hujša, saj vsak okuženi preda virus naprej še vsaj petim ljudem. Zato je tako pomembno, da se držimo navodil in odlokov, ki jih v zadnjem času dobivamo od oblasti. Čim manj bo stikov med ljudmi, manj možnosti bo za hitro širjenje virusa.

Matematični modeli in njihova interpretacija

Marsikdo se je ob pogledu na graf eksponentne funkcije lahko močno prestrašil. Saj je videti povsem brezupno, če se virus tako hitro širi. A v življenju gre vseeno malo drugače in o tem bomo spregovorili v nadaljevanju. Po eksponentnem pravilu se širijo npr. tudi plesen, gniloba ipd., vendar pri tem poteku sčasoma začne zmanjkovati ali hrane ali prostora – skratka, pride do določene zunanje okoliščine, ki rast upočasni. V primeru koronavirusa je ta okoliščina osamitev. Graf funkcije se potem počasi začne izravnavati in rast postane linearna, na koncu pa funkcija začne celo padati.

V enem od slovenskih medijev je bil pred kratkim objavljen članek, ki je napovedoval število okuženih v naslednjih dneh in tednih. Vseboval je tudi spodnji graf.

Zeleni del grafa so realni podatki, nadaljevanje pa se je razcepilo v štiri scenarije: od optimističnega do najbolj pesimističnega. Po približno treh tednih smo lahko »generali po bitki« in pogledamo, kako se je virus pri nas dejansko širil. Tudi najbolj črna možnost (rdeča krivulja) je bila kljub visokemu številu okuženih preveč optimistična, saj je predvidela, da bo epidemija dosegla vrh približno ob začetku koledarske pomladi. Dejansko se je rast širjenja virusa zaradi discipliniranosti večine prebivalcev Slovenije upočasnila, kar kaže spodnji graf, ki je sicer stolpčni.

Iz njegove oblike lepo vidimo, da je bila rast najprej eksponentna, potem pa se je izravnala v pretežno linearno. Kako visoko bo prišel graf, ne ve nihče, saj obnašanja koronavirusa še ne poznamo dovolj. Sta pa od časa rasti odvisna naše prihodnje življenje in delo.

Zanimivo pa je spremljati situacijo na svetovni ravni, kjer so meje protivirusnega delovanja posameznih držav zabrisane in vidimo celotno sliko. Ta nas ne more navdušiti. S spleta sem dobil najnovejši graf potrjenih okužb z virusom covid-19 Svetovne zdravstvene organizacije (WHO) in ga vnesel v program GeoGebra (mnogi od vas ga najbrž poznajo, saj je brezplačno dostopen na spletu in tudi preveden v slovenščino). Podložil sem ga pod pravokotni koordinatni sistem in čezenj narisal eksponentno funkcijo, ki se z njim najbolj ujema.

Ne boste verjeli, ampak izkazalo se je, da je širjenje koronavirusa na svetovni ravni zelo podobno kot rast pri našem primeru delitve celice. Njegov koeficient je rahlo večji; k = 2,2. Epidemiologi sklepajo, da je tako »nizka« rast (ponovimo, da v povprečju vsak okuženi »podari« virus petim ljudem) posledica manjšega števila brisov in posledično manj odkritih primerov okužbe. Virus je namreč v ZDA, Rusiji, na Bližnjem vzhodu in v nekaterih evropskih državah v polnem razmahu.

Velja torej še enkrat opozoriti: bodimo disciplinirani, ne družimo se, ostanimo doma, vzemimo si čas za učenje, branje in za stvari, ki so do sedaj vedno morale počakati, ker se nam je zdelo, da imamo premalo časa.

Gregor PAVLIČ